Еквівалентування моделей мінімально-фазових лінійних систем автоматичного керування з ПІД-регуляторами в класі немінімально-фазових

Abstract

Для замкнутих систем автоматичного керування лінійними мінімально-фазовими динамічними об’єктами з ПІД-регуляторами, процеси в яких описуються математичними моделями у вигляді звичайних лінійних диференціальних рівнянь високого порядку, запропоновано метод синтезу математичних моделей у вигляді диференціальних рівнянь не вище другого порядку в класі немінімально-фазових, тобто, у вигляді диференціальних моделей не вище другого порядку з аргументом, який запізнюється на певний час в процесі проходженні сигналу зі входу системи на вихід.

Запропоновано також метод ідентифікації еквівалентних моделей, в основу якого покладене занурення математичних моделей, визначених на часовій осі, в частотну область.

Для побудови розрахункових співвідношень запропонованого методу ідентифікації еквівалентних моделей використано частотні характеристики.

В якості критерію оптимізації параметрів еквівалентних моделей використано критерій найменших квадратів.

В якості головного обмеження у розв’язанні задачі пошуку оптимальних значень параметрів еквівалентних моделей використано рівність критичної частоти еквівалентної системи та системи, що еквівалентується, оскільки саме значенням критичної частоти визначається здатність лінійної динамічної системи зберігати чи втрачати стійкість при її замиканні одиничним негативним зворотним зв’язком, а тому при еквівалентуванні необхідно для еквівалентної моделі встановлювати те ж значення критичної частоти, яке має реальна динамічна система, еквівалентна математична модель якої синтезується.

For closed automatic control systems of linear minimum phase dynamic objects with PID controllers, the processes in which are described by mathematical models in the form of ordinary linear differential equations of high order, the article proposes a method for synthesizing mathematical models in the form of differential equations of not higher than the second order in the class of nonminimum phase ones, i.e. in the form of differential models of not higher than the second order with an argument which delays for a period of passing an input signal of the system to its output.

The article also presents a method for identifying equivalent models based on the transferring of mathematical models defined on the time domain to the frequency domain.

To derive the calculated ratios of the proposed method of identifying equivalent models, there were used the frequency characteristics.

As a criterion for optimizing parameters of the equivalent models, the criterion of least squares was used.

As the main constraint in solving the problem of finding the optimal values of parameters of the equivalent models, there was chosen an equality of the critical frequencies of the equivalent system and the initial one, because it is the value of the critical frequency that determines the ability of a linear dynamical system to retain or lose stability when it is closed by a unity negative feedback, and therefore, when equivalenting, it is necessary for the equivalent model to set the same value of the critical frequency that the real dynamic system has, for which equivalenting is used.

Для замкнутых систем автоматического управления линейными минимально-фазовыми динамическими объектами с ПИД-регуляторами, процессы в которых описываются математическими моделями в виде обыкновенных линейных дифференциальных уравнений высокого порядка, предложен метод синтеза математических моделей в виде дифференциальных уравнений не выше второго порядка в классе неминимально-фазовых, то есть, в виде дифференциальных моделей не выше второго порядка с аргументом, запаздывающим на определенное время в процессе прохождения сигнала со входа системы на выход.

Предложен также метод идентификации эквивалентных моделей, в основу которого положено погружение математических моделей, определенных на временной оси, в частотную область.

Для построения расчетных соотношений предложенного метода идентификации эквивалентных моделей использованы частотные характеристики.

В качестве критерия оптимизации параметров эквивалентных моделей использован критерий наименьших квадратов.

В качестве главного ограничения при решении задачи поиска оптимальных значений параметров эквивалентных моделей использовано равенство критической частоты эквивалентной системы и системы, которая эквивалентируется, поскольку именно значением критической частоты определяется способность линейной динамической системы сохранять или терять устойчивость при ее замыкании единичной отрицательной обратной связью, поэтому при эквивалентировании необходимо для эквивалентной модели устанавливать то же значение критической частоты, которое имеет реальная динамическая система, эквивалентная математическая модель которой синтезируется.