Сингулярно збурені марківські моделі процесів відновлення людино-машинно-середовищних систем із підсистемою захисту

Abstract

Актуальність дослідження зумовлена необхідністю підвищення ефективності математичного моделювання процесів відновлення складних людино-машинно-середовищних систем, що функціонують у післяаварійних режимах та характеризуються наявністю швидкодійних підсистем захисту і різних часових масштабів перебігу деградаційних та відновлювальних процесів. Традиційні марківські моделі безперервного часу не завжди дозволяють адекватно враховувати багатомасштабну структуру динаміки таких систем, що зумовлює необхідність застосування сингулярно збурених стохастичних моделей. Метою статті є розроблення сингулярно збуреної марківської моделі процесів відновлення людино-машинно-середовищної системи з підсистемою захисту та дослідження її асимптотичних властивостей з урахуванням різних часових масштабів функціонування підсистем. Методологічною основою дослідження є апарат марківських процесів безперервного часу, методи асимптотичного аналізу сингулярно збурених систем, рівняння Колмогорова та підходи до агрегування станів багатомасштабних стохастичних моделей. У роботі запропоновано подання матриці інтенсивностей переходів у вигляді суми швидкої та повільної складових з введенням малого параметра, що характеризує співвідношення часових масштабів функціонування підсистем захисту та технічної системи. Розроблено узагальнену сингулярно збурену марківську модель процесів післяаварійного відновлення людино-машинно-середовищної системи, яка дозволяє врахувати взаємодію технічної підсистеми, оператора та підсистеми захисту в єдиному стохастичному просторі станів. Отримано агреговану матрицю переходів редукованої моделі та показано можливість визначення стаціонарних характеристик функціонування системи, зокрема коефіцієнта готовності, середнього часу відновлення та імовірності перебування системи у критичному стані. Наукова новизна отриманих результатів полягає у побудові сингулярно збуреної марківської моделі процесів відновлення людино-машинно-середовищних систем із підсистемою захисту, що дозволяє врахувати багатомасштабну структуру процесів функціонування та виконати редукцію простору станів без втрати точності опису післяаварійної динаміки системи. Практичне значення отриманих результатів полягає у можливості застосування запропонованої моделі для оцінювання показників надійності та готовності складних технічних систем критичної інфраструктури, а також для аналізу ефективності функціонування підсистем захисту в умовах аварійних режимів.The relevance of the study is due to the need to increase the efficiency of mathematical modeling of the recovery processes of complex human-machine-environmental systems operating in post-accident modes and is characterized by the presence of fast-acting protection subsystems, different time scales of the course of degradation and recovery processes. Traditional Markov models of continuous time do not always enable to adequately take into account the multi-scale structure of the dynamics of such systems, which necessitates the use of singularly perturbed stochastic models. The aim of the article is to develop a singularly perturbed Markov model of the recovery processes of a human-machine-environmental system with a protection subsystem and to study its asymptotic properties taking into account different time scales of the subsystems’ functioning. The methodological basis of the study is the apparatus of Markov processes of continuous time, methods of asymptotic analysis of singularly perturbed systems, Kolmogorov equations and approaches to the aggregation of states of multi-scale stochastic models. The paper proposes the representation of the transition intensity matrix as the sum of fast and slow components with the introduction of a small parameter characterizing the ratio of time scales of the functioning of the protection subsystems and the technical system. A generalized singularly perturbed Markov model of the post-accident recovery processes of the human-machine-environmental system has been developed, which allows taking into account the interaction of the technical subsystem, the operator and the protection subsystem in a single stochastic state space. An aggregated transition matrix of the reduced model has been obtained and the possibility of determining the stationary characteristics of the system functioning, in particular the readiness coefficient, the average recovery time and the probability of the system being in a critical state, has been shown. The scientific novelty of the obtained results lies in the construction of a singularly perturbed Markov model of the recovery processes of human-machine-environmental systems with a protection subsystem, which allows taking into account the multi-scale structure of the functioning processes and performing a reduction of the state space without losing the accuracy of the description of the post-accident dynamics of the system. The practical significance of the results obtained lies in the possibility of using the proposed model to assess the reliability and readiness indicators of complex technical systems of critical infrastructure, as well as to analyze the efficiency of protection subsystems functioning in emergency modes.