Диференціальні рівняння в техніці й природничих науках: чисельне та дано-орієнтоване моделювання логістичної динаміки

Abstract

Останні дослідження диференціальних рівнянь дедалі частіше поєднують класичне математичне моделювання з техніками ідентифікації, керованими даними. Ця тенденція особливо актуальна в інженерних і природничих науках, де реальні системи часто описуються нелінійною динамікою, а наявні дані обмежені або зашумлені. У такому контексті сучасна праця не повинна залишатися суто описовою; вона має демонструвати відтворюваний обчислювальний результат, що кількісно підтверджує заявлений методологічний підхід. Мета цієї статті подвійна: по-перше, узагальнити прикладну роль диференціальних рівнянь в інженерних і природничих науках; по-друге, перевірити на відтворюваній контрольній задачі точність двох підходів до динамічного моделювання: класичного числового інтегрування та ідентифікації правої частини, керованої даними, за обмежених зашумлених спостережень. У дослідженні використано логістичне рівняння dN/dt = rN(1−N/K) з параметрами r = 1, K = 100, N(0) = 10 на проміжку t ∈ [0; 10]. Як еталон використано точний аналітичний розв’язок. Числове інтегрування виконано явним методом Ейлера та методом Рунге — Кутти четвертого порядку з часовим кроком h = 0,5. Додатково розглянуто спрощену модель правої частини, керовану даними, у вигляді f(N)=aN+bN². Коефіцієнти ідентифіковано методом найменших квадратів за синтетичними даними похідної, спотвореними 2 % відносного шуму. Ідентифіковану модель потім повторно проінтегровано та порівняно з еталонною траєкторією. Отримані результати демонструють істотну різницю в точності між двома числовими схемами. За однакового розміру кроку метод Ейлера дає RMSE = 2,664, тоді як RK4 — RMSE = 0,0039. Кінцеве значення N(10) значно точніше відтворюється методом RK4. Водночас ідентифікована модель, керована даними, відновлює коефіцієнти a = 1,0053 і b = −0,01006, близькі до теоретичних значень 1 і −0,01. Відновлена траєкторія має RMSE ≈ 0,15, що показує: навіть просте параметричне подання може зберігати суттєву нелінійну поведінку та насичення поблизу місткості середовища. Науковий внесок статті полягає в методологічній узгодженості. Замість декларативних посилань на нейронні диференціальні рівняння без кількісних доказів у праці наведено прозорий порівняльний числовий експеримент і відтворювану процедуру ідентифікації, керовану даними. Це усуває розбіжність між заявленою метою, застосованими методами та висновками. Запропонована структура може слугувати основою для подальших розширень на багатовимірні системи, диференціальні рівняння з частинними похідними та нейронні диференціальні моделі з повним конвеєром навчання й валідації.Recent studies on differential equations increasingly combine classical mathematical modeling with data-driven identification techniques. This trend is especially relevant in engineering and natural sciences, where real systems are often described by nonlinear dynamics, while the available data are limited or affected by noise. In such a context, a modern manuscript should not remain purely descriptive; it must demonstrate a reproducible computational result that quantitatively confirms the declared methodological approach. The purpose of this paper is twofold: first, to summarize the applied role of differential equations in engineering and natural sciences; second, to verify, on a reproducible control problem, the accuracy of two approaches to dynamic modeling: classical numerical integration and data-driven identification of the right-hand side from limited noisy observations. The study uses the logistic equation dN/dt = rN(1−N/K) with parameters r = 1, K = 100, N(0) = 10 on the interval t ∈ [0; 10]. The exact analytical solution is used as a benchmark. Numerical integration is performed by the explicit Euler method and the fourth-order Runge-Kutta method with a time step h = 0.5. In addition, a simplified data-driven model of the right-hand side is considered in the form f(N)=aN+bN². The coefficients are identified by least squares from synthetic derivative data corrupted by 2% relative noise. The identified model is then reintegrated and compared with the benchmark trajectory. The obtained results demonstrate a substantial difference in accuracy between the two numerical schemes. For the same step size, the Euler method yields RMSE = 2.664, while RK4 gives RMSE = 0.0039. The final value N(10) is reproduced much more accurately by RK4. At the same time, the identified data-driven model recovers coefficients a = 1.0053 and b = -0.01006, which are close to the theoretical values 1 and -0.01. The reconstructed trajectory has RMSE ≈ 0.15, showing that even a simple parametric representation can preserve the essential nonlinear behavior and saturation near the carrying capacity. The scientific contribution of the paper lies in methodological consistency. Instead of declaratively referring to neural differential equations without quantitative evidence, the manuscript provides a transparent comparative numerical experiment and a reproducible data-driven identification procedure. This removes the discrepancy between the stated goal, the applied methods, and the conclusions. The proposed framework may serve as a basis for further extensions to multidimensional systems, partial differential equations, and neural differential models with a complete training and validation pipeline.