Застосування методів машинного навчання для апроксимації розв'язків диференціальних рівнянь

Abstract

У роботі досліджено застосування методів машинного навчання для апроксимації розв'язків диференціальних рівнянь. Проаналізовано ефективність нейронних мереж, таких як Physics-Informed Neural Networks (PINNs), Deep Neural Networks (DNN) та Convolutional Neural Networks (CNN) під час розв'язування звичайних диференціальних рівнянь та рівнянь із частинними похідними. Досліджено здатність машинного навчання до адаптивної апроксимації складних функцій, їхню точність, швидкодію та можливість обробки високорозмірних задач. Особливу увагу приділено автоматичному диференціюванню, оптимізації функцій втрат та генерації числових розв'язків. Результати демонструють доцільність застосування ML-методів у наукових обчисленнях, інженерних симуляціях і математичному моделюванні.

This paper explores the application of machine learning methods for approximating solutions of differential equations. The effectiveness of neural networks such as Physics-Informed Neural Networks (PINNs), Deep Neural Networks (DNN), and Convolutional Neural Networks (CNN) is analyzed in solving ordinary differential equations and partial differential equations. The study evaluates the ability of machine learning to adaptively approximate complex functions, their accuracy, performance, and capability to handle high-dimensional problems. Special attention is given to automatic differentiation, loss function optimization, and numerical solution generation. The results demonstrate the practicality of using ML methods in scientific computing, engineering simulations, and mathematical modeling.