Закон перетворення коефіцієнтів ряду Фур`є при відображенні неперервної функції в розривну першого роду

Abstract

Досліджено окремі властивості нескінченновимірного лінійного гільбертового простору 2π-пері­о­дичних функцій, побудованого над множиною дійсних чисел, із заданим в ньому скалярним добутком двох функцій. У зв’язку з цим, визначено закон перетворення коефіцієнтів тригонометричного ряду Фур’є при трансформації неперервної на періоді функції в розривну першого роду. Для розв’язання поставленої задачі використано окремі класичні положення математичного та функціонального аналізів. В процесі розв’язання задачі доведено, що зазначений математичний закон має складну структуру і є композицією двох множинних законів відображення. Для розкриття першого закону здійснено альтернативне розкладання розривної функції в тригонометричний ряд Фур’є з використанням базису, де за орти слугують розривні тригонометричні функції з ортогонального базису вихідної неперервної функції. Бієктивне зіставлення сформованих особливим чином підмножин з множини отриманих за такого підходу коефіцієнтів Фур’є з коефіцієнтами Фур’є, визначеними для тієї ж розривної функції, але в традиційний спосіб, дозволив аналітично розкрити і другий із законів відображення. Для зручності сприйняття інтерпретацію кожного з математичних законів відображення та їх композицію представлено не тільки в аналітичній, але і в графічній формах подання. Зазначена математична задача постає і потребує свого розв’язання насамперед під час проведення спектрального аналізу періодичного руху континуальних фізичних і технічних динамічних систем при перериванні та дискретизації їхнього руху в просторі та часі. Отримані розв’язки виявляють себе як математичні моделі, які дозволяють перетворювати параметри неперервного руху в перервний без здійснення операції інтегрування, тобто у прямий спосіб, що є перевагою запропонованого підходу порівняно з вже відомими. Самі ж математичні моделі на сьогодні є затребуваними в численних додатках та інноваціях не тільки інформаційних, але і, головним чином, силових технічних систем довільної фізичної природи, що незаперечно свідчить про актуальність розв’язуваної задачі та її практичну доцільність.

In this paper, we describe some properties of an infinite-dimensional linear Hilbert space of 2π-periodic functions with a scalar product defined in it. This space is constructed over a set of real numbers. In particular, the law of transformation of the coefficients of the trigonometric Fourier series is defined in the case of transformation of a continuous function on the period into a discontinuous function of the first kind. In this regard, strictly justified and obtained expressions that in analytical form disclose the said mathematical law. A successful solution of the problem became possible as a result of the author introducing an auxiliary system basis of orthogonal functions. This made it possible to obtain an intermediate expansion of each of the original Fourier coefficients of a continuous periodic function, and with the subsequent rearrangement of the terms it was possible to form the decomposition of a discontinuous periodic function and determine the Fourier coefficients of such decomposition. This approach has revealed the compositional nature of the required mathematical law of transformation. This mathematical problem appears and becomes relevant during the spectral analysis of continual physical and technical dynamic systems in the case of discretization of their motion in space and time. As an example of such systems, electrical or radio engineering systems can be called. The solution of the problem makes it possible to supplement the spectral (frequency) method of analyzing electrical circuits at the present time with missing mathematical models that are able to directly and without resorting to the integration operation to identify and evaluate the distribution of the spectral components of the trigonometric Fourier series in the case of discretization of the continuous motion of dynamical systems. The above, for example, can be attributed to devices and systems power semiconductor electronics in which the generation, transportation and conversion of electrical (electromagnetic) energy is carried out by the method of discretizing the energy processes that are continuous in their physical nature. Today, this approach has become a paradigm in the development of modern power electronics.

Исследованы отдельные свойства бесконечномерного линейного гильбертова пространства 2π-периоди­ческих функций, построенного над множеством действительных чисел, с заданным в нём скалярным произведением двух функций. В связи с этим, получен закон преобразования коэффициентов тригонометрического ряда Фурье при трансформации непрерывной на периоде функции в разрывную первого рода. Для решения задачи использованы отдельные классические приложения математического и функционального анализа. В процессе решения задачи доказано, что указанный математический закон имеет сложную структуру и представляет собой композицию двух множественных законов отображения. Для раскрытия первого закона произведено альтернативное разложение разрывной функции в тригонометрический ряд Фурье с использованием базиса, где в качестве ортов использованы разрывные тригонометрические функции из ортогонального базиса исходной непрерывной функции. Биективное сопоставление сформированных особым образом подмножеств из множества полученных указанным способом коэффициентов Фурье с коэффициентами Фурье, полученными для той же разрывной функции, но при традиционном подходе, позволил аналитически раскрыть и содержание второго из законов отображения. Для удобства восприятия интерпретацию каждого из математических законов отображения и их композицию приведено не только в аналитической, но и графической формах представления. Указанная математическая задача возникает и требует своего решения, прежде всего во время проведения спектрального анализа периодического движения континуальных физических и технических динамических систем при прерывании и дискретизации их движения в пространстве и времени. Полученные решения обнаруживают себя как математические модели, способные преобразовывать параметры непрерывного движения в прерывное без выполнения операции интегрирования, т. е. непосредственно (прямо), что создаёт преимущество предложенного подхода в сравнении с уже известными. Сами же математические модели на сегодняшний день затребованы многочисленными приложениями и инновациями не только в информационных, но и, главным образом, в силовых технических системах произвольной физической природы, что неопровержимо свидетельствует об актуальности решаемой задачи и её практической целесообразности.