До питання вибору оптимальної математичної моделі стаціонарного часового ряду

Abstract

Доведено, що оптимальною математичною моделлю стаціонарного часового ряду є модель авторегресії – ковзного середнього, що має третій порядок і по авторегресійній складовій і по складовій ковзного середнього. В доведенні використано той факт, що динамічна система, аби бути керованою в режимі забезпечення стійкості, не може описуватись диференціальним рівнянням, що має порядок нижчий за третій. При переході від похідних до різниць відповідного порядку диференціальне рівняння третього порядку трансформується у різницеве рівняння третього порядку відносно відліків вихідного сигналу динамічної системи. Саме з цього різницевого рівняння, як наслідок, випливає третій порядок авторегресійної складової для вихідної координати цієї динамічної системи, якщо у вихідному сигналі, який дискретизується, а тому перетворюється у часовий ряд, враховувати і випадкову складову. А для доведення, що третій порядок складової ковзного середнього в математичній моделі авторегресії – ковзного середнього, є оптимальним, використано той факт, що будь-який стаціонарний стохастичний вхідний сигнал динамічної системи можна синтезувати, використовуючи модель фільтра, на вхід якого подається зважена сума імпульсів білого шуму зі сталим спектром, та той факт, доведений авторами цієї статті, що у цій зваженій сумі імпульсів білого шуму за оптимального вибору ваг достатньо утримувати лише імпульс, який генерується в момент часу, що спостерігається, та два попередні імпульси, що передують цьому моменту. І оскільки ця зважена сума трьох імпульсів білого шуму є моделлю ковзного середнього для авторегресійної моделі динамічного об’єкта, на вході якого діє сигнал у вигляді часового ряду, то це і є доказом того, що оптимальним порядком математичної моделі дискретизованого вихідного сигналу динамічної системи у вигляді авторегресії – ковзного середнього і по складовій ковзного середнього є третій.

It is proved that the optimal mathematical model of a stationary time series is the autoregression – moving average model having the third order both in the autoregressive component and in the moving average component. The proof uses the fact that the dynamical system, in order to be steered in the stability mode, can not be described by a differential equation of order lower than the third. In going from derivatives to differences of the corresponding order, a third-order differential equation is transformed into a third-order difference equation relative to the samples of the output signal of the dynamic system. It is from this difference equation that, as a consequence, the third order of the autoregressive component follows for the output coordinate of this dynamic system, if the random component is also taken into account in the original signal, which is discretized, and therefore turns into a time series. And to prove that the third order of the moving average component in the mathematical model of autoregression – moving average is optimal, it is used as the fact that any stationary stochastic input signal of a dynamic system can be synthesized using a filter model whose input receives a weighted sum of white noise pulses with a constant spectrum, and the fact proved by the authors of this article that in this weighted sum of white noise pulses with an optimal choice of weights, It must only pulse generated in the observed time and two previous pulses preceding this time moment. And since this weighted sum of three white noise pulses is a moving average model for an autoregressive model of a dynamic object whose input is acted upon by a time series signal, this is the proof that the optimal order of the mathematical model of the sampled output signal of a dynamical system in the form of the autoregression – moving average and the moving average component is the third.

Доказано, что оптимальной математической моделью стационарного временного ряда является модель авторегрессии – скользящего среднего, имеющая третий порядок и по авторегрессионной составляющей и по составляющей скользящего среднего. В доказательстве использован тот факт, что динамическая система, для того, чтобы быть управляемой в режиме обеспечения устойчивости, не может описываться дифференциальным уравнением, имеющем порядок ниже третьего. При переходе от производных к разностям соответствующего порядка дифференциальное уравнение третьего порядка трансформируется в разностное уравнение третьего порядка относительно отсчетов выходного сигнала динамической системы. Именно из этого разностного уравнения, как следствие, вытекает третий порядок авторегрессионной составляющей для выходной координаты этой динамической системы, если в исходном сигнале, который дискретизируется, а потому превращается во временной ряд, учитывать и случайную составляющую. А для доказательства, что третий порядок составляющей скользящего среднего в математической модели авторегрессии – скользящего среднего, является оптимальным, использован как тот факт, что любой стационарный стохастический входной сигнал динамической системы можно синтезировать, используя модель фильтра, на вход которого подается взвешенная сумма импульсов белого шума с постоянным спектром, и тот факт, доказанный авторами настоящей статьи, что в этой взвешенной сумме импульсов белого шума при оптимальном выборе весов достаточно удерживать только импульс, генерируемый в наблюдаемый момент времени и два предыдущих импульса, предшествующих этому моменту. И поскольку эта взвешенная сумма трех импульсов белого шума является моделью скользящего среднего для авторегрессионной модели динамического объекта, на входе которого действует сигнал в виде временного ряда, то это и есть доказательством того, что оптимальным является третий порядок математической модели дискретизированного выходного сигнала динамической системы в виде авторегрессии – скользящего среднего и по составляющей скользящего среднего.