Постановка та розв’язання задачі знаходження найменших та найбільших значень основних характеристик окремого класу дволанкового деформування

Abstract

Розглянуто задачу визначення граничної накопиченої деформації до руйнування матеріалу для окремого класу зміни швидкості деформацій відповідно до лінійних дволанкових траєкторій. Всі траєкторії відповідають таким вимогам: в початковий момент швидкість деформації дорівнює нулю, досягає максимального значення в точці зламу та зменшується впродовж другої ланки траєкторії аж до досягнення граничного стану матеріалу. Показано, що для цих траєкторій задача визначення граничної накопиченої деформації зводиться до задачі нелінійного програмування, в якій цільова функція та обмеження є нелінійними функціями трьох невідомих параметрів: координат точки зламу та швидкості деформації в момент досягнення граничного стану. Детально досліджено випадок, що характеризується одночасним досягненням граничного стану матеріалу та нульового значення швидкості деформацій. Показано, що у двох граничних випадках – прямування моменту зламу траєкторії до нуля або до часу руйнування, дволанкова траєкторія вироджується у відповідні одноланкові ліву та праву граничні траєкторії. Під час дослідження та пошуку аналітичного розв’язку сформульованої задачі нелінійного програмування сформульовано та доведено теорему про найменше та найбільше значення швидкості деформацій, згідно з якою найбільша швидкість деформацій має місце для лівої граничної траєкторії та монотонно зменшується з поступовим переходом до правої граничної траєкторії. Теорему доведено з використанням елементів математичного аналізу та теорії функціональних рядів. Отримання для накопиченої деформації аналітичного виразу в замкненому вигляді разом із застосуванням цієї теореми надало можливість знайти закономірності зміни граничної накопиченої деформації в залежності від моменту досягнення точки зламу. Показано, що закономірності зміни граничної накопиченої деформації, що визначається на основі всієї дволанкової траєкторії, аналогічні закономірностям зміни швидкості деформацій у точці зламу. Звернено увагу на відсутність у літературі з теорії підсумовування пошкоджень подібних постановок задач та отриманих результатів.

The problem of determining the ultimate accumulated strain to fracture of a material for a particular class of the strain rate change according to the linear two-link trajectory is considered. All trajectories meet the following requirements: at the initial moment the strain rate is zero, reaches its maximum value at the break point and decreases during the second part of the trajectory until the material reaches its limit state. It is shown that for these trajectories the problem of determining the ultimate accumulated strain is reduced to a nonlinear programming problem with the target function and constraints that are nonlinear functions of three unknown parameters: the coordinates of the break point and the strain rate at the limit state. The case that is characterized by the simultaneous achievement of the limiting state of the material and zero strain rate is investigated in detail. It is shown that in two limited cases when the trajectory break tends to zero or to the time of fracture, the two-link trajectory degenerates into the single-link left and right limit trajectories. During defining for an analytical solution of the formulated nonlinear programming problem the theorem about the smallest and the largest values of the strain rate was formulated and proved. According to this theorem the maximum strain rate occurs for the left limit path and monotonously decreases with a gradual transition to the right limit path. The theorem is proved using elements of mathematical analysis and theory of functional series. Obtaining an analytical expression for the accumulated deformation together with the application of this theorem gave the possibility to find patterns of the ultimate accumulated strain variation depending from the moment of reaching the break point. It is shown that the patterns of the ultimate accumulated strain variation, which are determined on the basis of the entire two-link trajectory, are similar to the patterns of change in the strain rate at the break point. It is emphasized that similar problem formulation and the obtained results is absent in publications related to the theory of summing damage.

Рассмотрена задача определения предельной накопленной деформации до разрушения материала для частного класса изменения скорости деформаций в соответствии с линейной двухзвенной траекторией. Все траектории соответствуют следующим требованиям: в начальный момент скорость деформации равна нулю, достигает максимального значения в точке излома и уменьшается в течение второго участка траектории вплоть до достижения предельного состояния материала. Показано, что для этих траекторий задача определения предельной накопленной деформации сводится к задаче нелинейного программирования, в которой целевая функция и ограничения являются нелинейными функциями трех неизвестных параметров: координат точки излома и скорости деформации в момент достижения предельного состояния. Подробно исследован случай, характеризующийся одновременным достижением предельного состояния материала и нулевого значения скорости деформаций. Показано, что в двух предельных вариантах стремления момента излома траектории к нулю или ко времени разрушения, двухзвенная траектория вырождается в соответствующие однозвенную левую и правую предельные траектории. Во время исследования и поиска аналитического решения сформулированной задачи нелинейного программирования сформулирована и доказана теорема о наименьшем и наибольшем значении скорости деформаций, согласно которой максимальная скорость деформаций имеет место для левой предельной траектории и монотонно уменьшается с постепенным переходом к правой предельной траектории. Теорема доказана с использованием элементов математического анализа и теории функциональных рядов. Получение для накопленной деформации аналитического выражения в замкнутом виде вместе с применением этой теоремы позволило найти закономерности изменения предельной накопленной деформации в зависимости от момента достижения точки излома. Показано, что закономерности изменения предельной накопленной деформации, которые определяются на основе всей двухзвенной траектории, аналогичны закономерностям изменения скорости деформаций в точке излома. Обращено внимание на отсутствие в литературе по теории суммирования повреждений подобных постановок задач и полученных результатов.