Напружений стан товстостінної труби під дією внутрішнього тиску та осьової сили

Abstract

Розглянуто класичну задачу визначення напруженого стану товстостінної труби з нерухомими днищами під дією внутрішнього тиску та породжуваної ним осьової сили. За вказаних умов осьова деформація рівна нулю. Приймається схема ідеально пластичного тіла. Розроблені інформаційні Maple-технології всіх ключових етапів розв`язування вказаної задачі. Для можливості здійснити аналіз матеріалу труб сприймати пластичну деформацію без руйнування основне диференціальне рівняння задачі сформульовано та розв`язано відносно показника напруженого стану, що дорівнює відношенню першого інваріанта тензора напружень до інтенсивності напружень. Показано, що крайові умови приводять до системи трьох лінійних неоднорідних рівнянь відносно невідомих параметрів рівнянь для напружень. Визначено, що ця система завжди має розв`язок, оскільки визначник матриці системи обернено пропорційний квадрату радіуса межі, що відділяє пластичну та пружну області труби і завжди відмінний від нуля. Показано, що рівняння, яке встановлює залежність між прикладеним тиском і радіусом межі між пластичною та пружною областями, не піддається прямому розв`язанню відносно невідомого радіуса. Однак його доцільно застосовувати у формі, розв`язаній відносно тиску. Побудовані розподіли компонентів напружень, нормованих за межею текучості, по товщині труби узгоджуються з літературними даними, які підтверджують, що максимальні значення колового навантаження спостерігаються на зовнішній поверхні. Це трактується, як ознака достовірності теоретичного розв`язку, що узгоджується з експериментальними даними Бріджмена, згідно яким руйнування матеріалу товстостінної труби, що навантажена внутрішнім тиском, починається із зовнішньої поверхні. Отримані в цій роботі закономірності зміни показника напруженого стану, удосконалюють наведене обґрунтування, оскільки з позицій теорії деформовності матеріалів при холодному деформуванні граничні деформації матеріалу звичайно зменшуються з ростом показника напруженого стану, найбільші значення якого мають місце в точках зовнішньої поверхні і досягають значення корінь із 3.