Знаходження закону розподілу тривалості перебування напівмарковської системи на вибраній множині станів до переходу у фіксований стан

Abstract

Під час дослідження стохастичних систем важливе для практики місце посідає завдання відшукання закону розподілу тривалості перебування системи на заданій виділеній множині станів. Ця проблема виникає в задачах оцінювання ефективності та управління в системах масового обслуговування, у теорії надійності та в багатьох інших задачах дослідження операцій. Об'єкт дослідження – метод відшукання закону розподілу тривалості перебування напівмарковської системи на виділеній множині станів. Це завдання має природне продовження – знайти закон розподілу тривалості перебування системи на виділеній множині станів до моменту потрапляння в конкретний заданий стан. Може бути наведене гранично загальне формулювання цього завдання. Нехай система містить множину станів, кожен з яких характеризується набором значень деяких ознак. Потрібно знайти закон розподілу тривалості блукання множиною станів до потрапляння в стан із конкретним набором значень цих ознак. Ідея методу ґрунтується на віртуальному поданні множини станів виділеної множини як єдиного стану. Тривалість перебування в цьому укрупненому стані визначається сукупністю законів розподілу тривалостей перебування в кожному із станів виділеної множини до переходу в інші стани цієї множини. Використовуваний математичний інструментарій – розв'язання систем диференціальних рівнянь. Метод ілюструється розв'язанням простого прикладу, алгоритм реалізації якого містить усі принципові його компоненти. Наукова і практична цінність методу полягає в можливості його використання для розв'язання безлічі задач аналізу стохастичних напівмарковських систем з довільними щільностями розподілу тривалості перебування в кожному зі станів до відходу. Напівмарковська система є математичною моделлю, яка описує динаміку системи, що еволюціонує в часі через послідовність станів, де час перебування в кожному стані є випадковою величиною з довільним розподілом, який залежить від поточного та наступного станів. Напівмарковська система узагальнює марковські процеси, допускаючи складніші часові залежності. На відміну від марковського процесу, де час перебування в стані експоненціально розподілений, у напівмарковській системі він може мати будь-який розподіл. Імовірнісна система, що описує поведінку якої можна передбачити з певним ступенем імовірності на основі вивчення її минулої поведінки.