Шифрування інформації методом Гіла із використанням систем багатомісних ортогональних квазігруп над полем лишків

Abstract

The paper explores the possibilities of improving the classical Gill cipher by using systems of multi-place orthogonal quasigroup operations built on finite residue fields of simple order. The proposed approach is based on establishing a connection between orthogonal n-ary quasigroups and invertible matrices, which allows the formation of new cryptographic transformations for information protection. The theoretical principles of constructing such structures, their properties and orthogonality conditions are considered. The article proves the criteria for the existence of invertible matrices whose elements belong to the residue field and are nonzero. Based on the obtained mathematical results, an algorithm for constructing systems of orthogonal linear n-ary quasigroups of arbitrary dimension is developed. The proposed algorithm ensures the uniqueness of the solution of the corresponding systems of equations, which is a necessary condition for the correct process of encrypting and decrypting messages. An example of constructing a system of five orthogonal quasigroups of arity five over a finite set of residues is given, which confirms the practical feasibility of the proposed approach. Special attention is paid to assessing the cryptographic stability of the developed method. It is shown that the number of possible key matrices increases rapidly with increasing their dimension, which significantly complicates the implementation of brute force attacks. The use of a set of matrices of different dimensions and a random order of their application additionally increases the level of system security. The results obtained can be used in the development of modern block cryptographic algorithms, data protection systems and information and communication networks.

У роботі досліджено можливості вдосконалення класичного шифру Гілла шляхом використання систем багатомісних ортогональних квазігрупових операцій, побудованих над скінченними полями лишків простого порядку. Запропонований підхід базується на встановленні зв’язку між ортогональними n-арними квазігрупами та оборотними матрицями, що дозволяє формувати нові криптографічні перетворення для захисту інформації. Розглянуто теоретичні засади побудови таких структур, їх властивості та умови ортогональності. У статті доведено критерії існування оборотних матриць, елементи яких належать полю лишків та є ненульовими. На основі отриманих математичних результатів розроблено алгоритм побудови систем ортогональних лінійних n-арних квазігруп довільної розмірності. Запропонований алгоритм забезпечує однозначність розв’язку відповідних систем рівнянь, що є необхідною умовою коректного процесу шифрування та дешифрування повідомлень. Наведено приклад побудови системи п’яти ортогональних квазігруп арності п’ять над скінченною множиною лишків, що підтверджує практичну реалізованість запропонованого підходу.  Окрему увагу приділено оцінюванню криптографічної стійкості розробленого методу. Показано, що кількість можливих ключових матриць стрімко зростає зі збільшенням їх розмірності, що істотно ускладнює проведення атак методом повного перебору. Використання множини матриць різної розмірності та випадкового порядку їх застосування додатково підвищує рівень захищеності системи. Отримані результати можуть бути використані під час розроблення сучасних блочних криптографічних алгоритмів, систем захисту даних та інформаційно-комунікаційних мереж.