Про сучасні методи імітаційного моделювання теплової динаміки

Abstract

Задачі чисельного моделювання гетерогенних динамічних систем на сьогодні дуже актуальні, оскільки вони дозволяють спостерігати еволюційні закономірності таких систем у режимі реального часу, особливо якщо йдеться про проблеми з нелінійними параметрами матеріалів, складними граничними та початковими умовами, фазовими переходами з рухомими межами тощо. У переважній більшості таких випадків практично неможливо отримати аналітичні розв’язки, а численні методи розв’язання класичних задач можуть бути нестабільними. Класична модель фізичних процесів ґрунтується на диференціальних рівняннях, але практичне їх застосування не дозволяє отримувати прийнятні результати. У реальних практичних завданнях аналітичні розв’язки часто отримуються в найпростіших випадках з обмеженнями та припущеннями. У зв’язку з цим в останні роки стають популярнішими альтернативні підходи. Широко використовуються імітаційні або агентні моделі, де для кожного агента можна створити свої власні правила поведінки. Метод клітинних автоматів (КА) є одним з таких підходів моделювання. Він забезпечує не тільки опис фізичних властивостей матеріалу, але також може описати зміни на мікрорівні. Зокрема, процеси теплопередачі природно апроксимуються неперервними моделями клітинних автоматів. Створення якісної моделі процесу для проведення обчислювальних експериментів дозволяє спрогнозувати властивості отриманого матеріалу.

Клітинні автомати найефективніше використовуються для опису поведінки системи, колективна поведінка якої визначається локальною поведінкою її складових елементів, коли система є дуже неоднорідною, а усереднення змінних по всій системі навряд чи може відображати її стан адекватно в цілому. Тому для моделювання процесу плавлення, що супроводжується фазовим переходом першого роду, вибрано метод клітинних автоматів.

Розглянуто питанням використання клітинно-автоматної моделі для дослідження деяких базових фізичних процесів. На прикладі моделювання процесів переносу тепла розглянуті основні підходи і загальна методологія розробки клітинно-автоматних моделей. Показано, що ці моделі можуть стати альтернативою використанню класичних диференціальних рівнянь. Доведено, що модель у вигляді системи клітинних автоматів є досить зручним інструментальним засобом для дослідження нелінійних задач теплопереносу і може описувати досить складну поведінку системи, незважаючи на простоту її опису. Розглянуто типові задачі теорії теплопровідності та їх розв’язання методом клітинних автоматів. Здійснено аналіз точності обчислень КА-методом. Проведене порівняння швидкості обчислень для задачі Стефана за допомогою КА-методу та відомих сіткових методів.

It is well known that many physical properties of crystalline materials obtained by the method of directed crystallization are determined by the distribution of impurity in the melt and its ability to accumulate in the form of separate grains, cells etc. This occurs due to concentrated overcooling and leads to deterioration of the mechanical, electrical and physical properties of the material. It is one of the reasons for their fragility. A series of experiments is needed to investigate the optimal conditions for the growth of semiconductor materials with required properties. The time required is not always available, and the labor and material resources cost is rather high. Therefore, in recent years great attention is paid to the development of the technology of process simulation.

The tasks of heterogeneous dynamical systems numerical simulation are very relevant today, since they allow observing the evolutionary patterns of such systems in real-time, especially when it comes to problems with nonlinear parameters of materials, complex boundary and initial conditions, phase transitions with moving limits, etc. In the vast majority of such cases, it is almost impossible to obtain analytical solutions, and classical based on difference schemes solution numerical methods may be unstable. The classical model of physical processes is based on differential equations. But practical application of it does not allow us to receive acceptable results. In real practical tasks it is often used in the simplest cases with a number of limitations and assumptions. In this regard, alternative approaches are increasingly popular in recent years. There has been widely used imitation or agent models, where each agent can be attributed their own rules of conduct. The method of cellular automata (СA) is one of such simulation approach. It provides not only a description of the physical properties of the material but also can provide for changes at the micro-level. In particular, heat transfer processes are naturally approximated by continuous models of cellular automata. Just creation of a qualitative model of the process, on the basis of computational experiments, allows to predict the properties of the resulting material.

Cellular automata are the most effectively used to describe the behavior of a system the collective behavior of which is determined by the local behavior of its constituent elements, when the system is highly heterogeneous, and averaging of variables throughout the system can hardly reflect its status adequately as a whole. Therefore, while modeling the melting process, accompanied by the first order phase transition, we chose the cellular automata technique.

The work is devoted to the use of cellular automaton model for the study of some basic physical processes. The main approaches and the general methodology of the development of cellular automata models are considered on the example of heat transfer processes modeling. It is shown that these models can become an alternative to the use of classical differential equations. It is proved that the model in the form of a system of cellular automata equations is a very convenient tool for nonlinear heat transfer problems studying and can describe a rather complicated system behavior, despite the simplicity of its description. The typical problems of the thermal conductivity theory and their solving by the cellular automata method are considered. The analysis of accuracy of calculations by the CA-method was carried out. A comparison of the computational speed for the Stefan problem with the help of the CA-method and known net methods has been made.

Задачи числового моделирования гетерогенных динамических систем на сегодня очень актуальны, поскольку они позволяют наблюдать эволюционные закономерности таких систем в режиме реального времени, особенно если речь идет о задачах с нелинейными параметрами материалов, сложными граничными и начальными условиями, фазовыми переходами, с подвижными границами и т. п. В подавляющем большинстве таких случаев практически невозможно получить аналитические решения, а численные методы решения классических задач могут быть нестабильными. Классическая модель физических процессов основана на дифференциальных уравнениях, но практическое их применение не позволяет получать приемлемые результаты. В реальных практических задачах он часто используется в простейших случаях с ограничениями и предположениями. В связи с этим в последние годы альтернативные подходы становятся более популярными. Широко используются имитационные или агентные модели, где для каждого агента можно создать свои собственные правила поведения. Метод клеточных автоматов (КА) является одним из таких подходов моделирования. Он обеспечивает не только описание физических свойств материала, но также может описать изменения на микроуровне. В частности, процессы теплопередачи естественно аппроксимируются непрерывными моделями клеточных автоматов. Создание качественной модели процесса для проведения вычислительных экспериментов позволяет спрогнозировать свойства полученного материала.

Клеточные автоматы наиболее эффективно используются для описания поведения системы, коллективное поведение которой определяется локальным поведением ее составных элементов, когда система является очень неоднородной, а усреднение переменных по всей системе едва ли может адекватно отображать ее состояние в целом. Поэтому для моделирования процесса плавления, сопровождающегося фазовым переходом первого порядка, выбран метод клеточных автоматов.

Рассмотрен вопрос использования клеточно-автоматной модели для исследования некоторых базовых физических процессов. На примере моделирования процессов переноса тепла рассмотрены основные подходы и общая методология разработки клеточно-автоматных моделей. Показано, что эти модели могут стать альтернативой использованию классических дифференциальных уравнений. Доказано, что модель в виде системы клеточных автоматов является довольно удобным инструментальным средством для исследования нелинейных задач теплопереноса и может описывать сложное поведение системы, несмотря на простоту ее описания. Рассмотрены типичные задачи теории теплопроводности и их решения методом клеточных автоматов. Осуществлен анализ точности вычислений КА-методом. Проведено сравнение скорости вычислений для задачи Стефана с помощью КА-метода и известных сеточных методов.