Апроксимація розширеного фільтра Калмана паралельною двокаскадною структурою

Abstract

Розглянуто задачу оцінювання вектора стану лінійної динамічної системи за наявності можливих збурень, математична модель яких передбачається відомою. У такому випадку збурення можна вважати складовою частиною вектора стану динамічної системи і оцінювати їх у такий же спосіб, як і вектор стану. Результатом синтезу пристрою обробки результатів спостережень є фільтр Калмана, розмірність якого значно більша розмірності досліджуваної динамічної системи. З практичної точки зору реалізація розширеного фільтра Калмана супроводжується значними труднощами обчислювального характеру, оскільки обсяг необхідних базових математичних операцій — додавання та множення оцінюється пропорційно кубу від розмірності розширеного вектора стану. Для подолання цих труднощів Фрідланд запропонував використовувати замість розширеного фільтра Калмана структуру, що складається з двох, автономно працюючих паралельних фільтрів меншої розмірності, лінійна комбінація виходів яких апроксимує вихід розширеного фільтра Калмана. Відомо, що декомпозиція Фрідланда є адекватною лише для збурень детермінованого типу. Як показали результати подальших досліджень, для збурень загального типу, що містять як детерміновану так і випадкову складову, запропонована структура лише апроксимує вихід розширеного фільтра Калмана, тобто є квазіоптимальною. Подальші спроби зробити її оптимальною, як правило, супроводжувались уведенням занадто жорстких обмежень алгебраїчного характеру, щоб їх можна було задовольнити на практиці. Запропоновано один з можли-вих варіантів модифікації структури Фрідланда з метою зведення її до розширеного фільтра Калмана за умови введення менш обтяжливих обмежень математичного характеру. В основу запропонованої модифікації покладено використання унітарних матриць спеціального типу, що дозволило звести коваріаційні матриці похибок фільтрації до діагонального виду, і таким чином отримати розділені стандартні фільтри Калмана меншої розмірності. Виходи отриманих фільтрів, взяті з певними ваговими множниками, також апроксимують вихід розширеного фільтра Калмана, проте наявність додаткових коригувальних входів значно послаблює обмеження, введені в інших роботах. Розглянутий варіант апроксимації структури Фрідланда може знайти практичне використання у задачах супроводу швидкоманеврених динамічних об’єктів або у задачах нелінійного оцінювання стану динамічних систем за появи нештатного режиму функціонування. Саме у цих напрямках обчислювальна ефективність паралельної двокаскадної структури може бути найкориснішою. У заключній частині статті методом математичного моделювання доведена працездатність запропонованої структури та виконаний порівняльний аналіз з результатами, отриманими у відомих роботах.

The given paper considers the problem of linear dynamic system state estimation in the presence of possible perturbations. Generally, perturbation is considered to be a constituent of linear dynamic system state vector. Assessment, in this case, is carried out in the same way. At such interpretation the standard decision is the Kalman filter with expanded state vector. Implementation of such filter is connected with considerable difficulties of computing character. For their overcoming Friedland suggested to use structure which consists of two, independent, smaller dimension parallel filters instead of an expanded Kalman filter. The method of parallel separate estimation is used as an effective remedy of reduction of the computing expenses connected with implementation of an expanded Kalman filter which dimension considerably exceeds dimension of controlled system. In this case linear combination of exits of such structure, approximates an exit of an expanded Kalman filter. The computing efficiency of parallel structure with two cascades, long time, is very popular in such directions as problems of tracking it is high-speed purposes or a perspective of nonlinear assessment in the presence of possible malfunctions. It is known that the decomposition recommended by Friedland is optimum only for perturbations of the determined type. In a situation of completely accidental vector of perturbation this structure is suboptimal. The practical difficulties connected with complexity of calculations of certain algebraic algorithms are the reason of it. As these restrictions are rigidly imposed, it is possible to overcome them seldom or never. The purpose of this work is researches of one of possible options of modification Friedland structure for the purpose of its reduction to an expanded Kalman filter with less strict restrictions. As the basis, for the considered modernization use of a orthogonal transformation method of matrixes for the purpose of receiving two standard Kallman filters of special type is necessary. Linear combination of these filters exits will also approximate an exit of the expanded Kalman filter, and introduction of the additional adjusting inputs considerably will weaken, considered in other works, restrictions. In the conclusion, the method of mathematical modeling showed efficiency of the modified structure. Comparative analysis with the results received in other works is carried out.

Рассмотрена задача оценки состояния линейной динамической системы в присутствии возможных возмуще-ний. В общем случае, возмущения принято считать составной частью вектора состояния линейной динамиче-ской системы и оценивают их таким же способом как и вектор состояния. При такой интерпретации общепри-нятым решением является фильтр Калмана с расширенным вектором состояния. Практическая реализация такого фильтра связана со значительными трудностями вычислительного характера. Для их преодоление Фридланд предложил использовать вместо расширенного фильтра Калмана структуру, которая состоит из двух, независимых, параллельных фильтров меньшей размерности. Метод параллельного раздельного оценива-ния используется в качестве эффективного средства сокращения вычислительных затрат, связанных с прак-тической реализацией расширенного фильтра Калмана, при условии, что его размерность значительно превы-шает размерность контролируемой системы. При этом, линейная комбинация выходов такой структуры, ап-проксимирует выход последнего. Вычислительная эффективность параллельной структуры с двумя каскадами, долгое время является весьма популярной в таких направлениях как задачи отслеживания высоко-маневренных целей или проблематика нелинейной оценки в присутствии некорректного функционирования. Известно, что разложение, рекомендуемое Фридландом, оптимально только для возмущений детерминированного типа. В ситуации случайного вектора возмущения эта структура является квазиоптимальной. Причиной этого явля-ются трудности связанные с производительностью в практике определенных алгебраических ограничений. Поскольку эти ограничения жестко навязаны, преодолеть их удаётся, только в очень редких случаях. В работе предлагается один из возможных вариантов модификации структуры Фридланда с целью ее приведения к рас-ширенному фильтру Калмана при менее жестких ограничениях. В качестве основания, для рассмотренной мо-дернизации положено использование метода ортогонального преобразования матриц с целью получения двух стандартных фильтров Калмана специального типа. Линейная комбинация выходов этих фильтров будет также аппроксимировать выход расширенного фильтра Кальмана, а введение дополнительных корректирующих входов значительно ослабит, рассмотренные в других работах, ограничения. В заключении, методом матема-тического моделирования продемонстрирована эффективность модифицированной структуры. Проведен срав-нительный анализ с результатами, полученными в других работах.