Плоска задача механіки суцільного середовища в полярних координатах з використанням аргумент функцій комплексного змінного

Abstract

Розглянуті загальні підходи до рішення плоскої задачі механіки суцільного середовища, які пройшли успішну апробацію в теорії пластичності, пружності, динамічних задачах теорії пружності. На основі методів аргумент функцій та комплексного змінного розроблені нові підходи до визначення компонентів тензору напружень в полярних координатах. Для розв’язання плоскої задачі використано системи рівнянь рівноваги. Запропоновано фундаментальне підставлення. Показано використання тригонометричного підставлення, яке пов’язує інтегральні характеристики напруженого стану з компонентами тензору напружень. Введено до розгляду аргумент функції базових змінних. При підставленні до диференційних рівнянь сформовано оператори, які характеризуються цими аргумент функціями, виконуючі роль своєрідного регулятора пошуку. В результаті цього, визначені закономірності існування розв’язків у вигляді інваріантних співвідношень Коші–Рімана та рівнянь Лапласа. Отриманий результат зручно застосовувати для спрощення, що дозволяє лінеарізувати граничні умови. В розв’язаннях використовують узагальнюючі співвідношення в диференційній формі для конкретних функцій — функцій гармонічного типу. Тригонометрична форма епюри дотичних напружень фактично підтверджена теоретичними та експериментальними даними. Отримані розв’язки, які визначають не самі функції, а умови їх існування з використанням диференційних співвідношень Коші–Рімана. Розв’язки є загальнішим випадком з тією особливістю, що представлено не у вигляді добутку функцій, кожна з яких визначається однією координатою, а добутком різних функцій, одночасно залежних від двох координат. Зіставлення отриманих результатів з розв’язками інших авторів показує, що представлене розв’язання після нескладних перетворень можливо спростити та розглядати отриманий розв’язок як більш узагальнений.

The general approaches to the solution of the plane problem of continuum mechanics, which have been successfully tested in the theory of plasticity, elasticity, dynamic problems of the theory of elasticity, are considered. Based on the argument function method and the method of a complex variable, new approaches to the determination of components of the stress tensor in polar coordinates have been developed. The equilibrium equation systems were used to solve the flat problem. A fundamental substitution is suggested. Use of a trigonometric substitution that connects integral characteristics of a stressed state with components of a stress tensor is demonstrated. Argument functions of basic variables are introduced. When substituting into differential equations, operators are formed, which are characterized by these argument functions and that perform a role of special search regulators. As a result of this, dependencies of existence of solutions in a form of the invariant Cauchy–Riemann conditions and Laplace’s equations are determined. The result obtained is conveniently applied for simplification, allowing linearization of boundary conditions. The solution uses generalized relations in the differential form for specific functions - functions of harmonic type. The trigonometric shape of the shearing stress distribution diagram is actually confirmed by theoretical and experimental data. The solutions that determine not the functions themselves, but the conditions of their existence using Cauchy–Riemann differential conditions are obtained. The solution is a more general case with the feature that is represented not by the product of functions, each of which is determined by one coordinate, but by the product of different functions simultaneously dependent on two coordinates. Comparison of the obtained results with the solutions of other authors shows that the presented solution after simple transformations can be simplified and consider the obtained solution as more generalized.

Рассмотрены общие подходы решения плоской задачи механики сплошной среды, которые прошли успешную апробацию в теории пластичности, упругости, динамических задачах теории упругости. На основе методов аргумент функций и комплексного переменного разработаны новые подходы определения компонентов тензора напряжений в полярных координатах. Для решения плоской задачи использованы системы уравнений равновесия. Предложена фундаментальная подстановка. Показано использование тригонометрической подстановки, связы-вающей интегральные характеристики напряженного состояния с компонентами тензора напряжений. Введены в рассмотрение аргумент функции базовых переменных. При подстановке в дифференциальные уравнения сформированы операторы, характеризуемые этими аргумент функциями, выполняющие роль своеобразных регуляторов поиска. В результате этого, определены закономерности существования решений в виде инвари-антных соотношений Коши–Римана и уравнений Лапласа. Получение нового результата связано с упрощением задачи, что позволяет линеаризовать граничные условия. В решении используются обобщающие соотношения в дифференциальной форме для конкретных функций — функций гармонического типа. Тригонометрическая форма эпюры касательных напряжений фактически подтверждена теоретическими и экспериментальными данными. Получены решения, которые определяют не сами функции, а условия их существования с использова-нием дифференциальных соотношений Коши–Римана. Решение является более общим случаем с той особенно-стью, что представлено не в виде произведения функций, каждая из которых определяется одной координатой, а произведением разных функций, одновременно зависящих от двух координат. Сопоставление полученных ре-зультатов с решениями других авторов показывает, что представленное решение после несложных преобразо-ваний можно упростить и рассматривать полученное решение как более обобщенное.