Про один із підходів наближеного обчислення інтегралів Стілтьєса і Лебега на мові Python в задачах системного аналізу з дискретними моделями

Abstract

Запропоновано програми наближеного обчислення інтегралів Стілтьєса та Лебега на мові Python, яких нині немає в програмних пакетах Sympy та Scipy, в яких зосереджені програмні функції обчислення лише однократних та багатократних інтегралів Рімана. Для реалізації цих програм здійснене коригування класичних математичних виразів, якими визначаються інтеграли Стілтьєса та Лебега і синтезовано алгоритми, придатні для розроблення програм наближеного обчислення цих інтегралів на мові Python. Особливістю алгоритму, який синтезовано для наближеного обчислення інтегралу Лебега, є врахування того, що міра Лебега дискретної функції, заданої на нульвимірній множині точок, розміщених на відрізку визначення її аргументу, є монотонною неперервною функцією координати функціональної осі, зростаючою від нуля в точці мінімального значення цієї функції до величини, що дорівнює довжині відрізка функціональної осі в межах від мінімального значення цієї функції до її максимального значення. В цьому алгоритмі значення дискретної функції, що інтегрується по Лебегу, відсортовуються так, щоб складати зростаючу послідовність, міра кожного значення якої задається відрізком функціональної осі в межах сусідніх значень цієї послідовності в бік її зростання. Розроблені програми інтегрування по Стілтьєсу та Лебегу на мові Python містять у своїй структурі стандартні, уже відомі програмні функції цієї мови. Показано, що запропоновані програми будуть корисними науковцям, які займаються задачами системного аналізу з дискретними моделями.

The article presents programs for the approximate calculation of Lebesgue-Stieltjes integrals in Python, which are not currently available in the SymPy and SciPy packages. Those packages include only functions for calculating single and multiple Riemann integrals. To implement these programs, there has been made the correction of classical mathematical expressions, which determine the Lebesgue–Stieltjes integrals, and synthesized algorithms suitable for the development of programs for the approximate calculation of these integrals in Python. The feature of the algorithm synthesized for the ap-proximate calculation of the Lebesgue integral is that the Lebesgue measure of a discrete function given on a zero-dimensional set of points located on the segment of its argument is a monotonic continuous function of the coordinate of the functional axis. This axis value increases from zero at the point of the minimum value of this function to a value equals to the length of the segment of the functional axis in the range from the minimum value of this function to its maximum value. In this algorithm, the values of a discrete Lebesgue-integrated function are sorted to form an ascending sequence, the meas-ure of each value of which is given by a segment of the functional axis within adjacent values of this sequence in the direc-tion of its growth. The developed Python programs for Lebesgue–Stieltjes integration contain standard already known pro-gram functions of this programming language. The article shows that the proposed programs can be useful for scientists who work on problems of systems analysis with discrete models.