Особливості застосування чисельних методів в обробці експериментальних даних. Інтерполювання

Abstract

The article analyzes the features of the application of classical interpolation methods for processing experimental data, namely, the Lagrange interpolation polynomial, the Aitkin scheme, the first and second Newton interpolation polynomials and the interpolation formulas of central differences − these are the Gauss, Stirling, Bessel interpolation formulas. It is established that the choice of a specific method significantly depends on the nature of the experimental data, the location of the interpolation nodes and the requirements for computational efficiency. The Lagrange interpolation formula and the Aitkin scheme are appropriate to use for both equidistant and unequally spaced interpolation nodes. In addition, using the Lagrange interpolation formula, it is possible to obtain the expression of the interpolation polynomial in analytical form. In the environment of the Maple V R4 computer algebra system, the expression of the interpolation polynomial in analytical form and its graphical interpretation were obtained. The Aitkin scheme is characterized by uniformity and cyclicity of calculations and is used when it is necessary to calculate only the value of the function at a given point. If the value of the argument lies closer to the beginning of the interpolation segment, the first Newton interpolation polynomial is used for calculations. In the case when the value of the argument lies closer to the end of the interpolation segment, it is advisable to use the second Newton interpolation formula. Gaussian interpolation formulas are semi-finished products for obtaining more symmetric interpolation formulas that use all central differences, these are Stirling and Bessel interpolation formulas. In addition, the arrangement of interpolation nodes in the table of finite differences of the Gaussian, Stirling, Bessel central difference interpolation formulas is significantly different from the arrangement of interpolation nodes for calculating the value of the function using Newton interpolation formulas. Newton's interpolation formulas and central difference interpolation formulas are appropriate to use in the case of equidistant interpolation nodes.

У статті проаналізовано особливості застосування класичних методів інтерполювання для обробки експериментальних даних, а саме, інтерполяційний многочлен Лагранжа, схему Ейткіна, перший та другий інтерполяційні многочлени Ньютона та інтерполяційні формули центральних різниць  це інтерполяційні формули Гаусса, Стірлінга, Бесселя. Встановлено, що вибір конкретного методу суттєво залежить від характеру експериментальних даних, розташування вузлів інтерполяції та вимог до обчислювальної ефективності. Інтерполяційну формулу Лагранжа та схему Ейткіна доцільно застосовувати як для рівновіддалених так і нерівновіддалених вузлів інтерполювання. Крім того, за допомогою інтерполяційної формули Лагранжа можна отримати вираз інтерполяційного многочлена в аналітичному вигляді. В середовищі системи комп\"ютерної алгебри Maple V R4 отримано вираз інтерполяційного многочлена в аналітичному вигляді та його графічну інтерпретацію. Для схеми Ейткіна характерна однотипність та циклічність обчислень і її застосовують, коли потрібно обчислити тільки значення функції у заданій точці. Якщо значення аргументу лежить ближче до початку відрізка інтерполювання, для обчислень застосовують перший інтерполяційний многочлен Ньютона. У випадку, коли значення аргументу лежить ближче до кінця відрізка інтерполювання доцільно застосувати другу інтерполяційну формулу Ньютона. Інтерполяційні формули Гаусса є напівфабрикатами для отримання більш симетричних інтерполяційних формул, які використовують всі центральні різниці, це інтерполяційні формули Стірлінга та Бесселя. Крім того, схема розташування вузлів інтерполювання в таблиці кінцевих різниць інтерполяційних формул центральних різниць Гаусса, Стірлінга, Бесселя суттєво відрізняється від схеми розташування вузлів інтерполювання для обчислення значення функції за інтерполяційними формулами Ньютона. Інтерполяційні формули Ньютона та інтерполяційні формули центральних різниць доцільно застосовувати у випадку рівновіддалених вузлів інтерполювання.