Алгоритм baby-step giant-step як інструмент обчислення дискретного логарифма в теорії чисел та вищій математиці

Abstract

The discrete logarithm problem is one of the fundamental mathematical challenges upon which the security of modern asymmetric cryptographic systems is built, including the Diffie-Hellman key exchange protocol, the ElGamal cryptosystem, and elliptic curve cryptography. Its mathematical essence lies in finding an unknown exponent in the equation g^x≡h (mod p), where g (the base), h (the result), and p (the modulus) are known integers. To solve this problem, the classical brute-force method is extremely inefficient and practically impossible for large values of the modulus p. The "baby-step giant-step" algorithm (also known as Shanks's algorithm), proposed by Daniel Shanks in 1971, allows for significant optimization of this process. This method is based on the "meet-in-the-middle" paradigm and allows for a reduction in computational search complexity from O(p) to O(√p)while requiring O(√p) memory to store intermediate results. This paper examines a software implementation of Shanks's algorithm using the Python programming language. The choice of this language is driven by its high-level architecture, support for arbitrary-precision integers (which is critical for cryptography), and the availability of efficient built-in data structures. In particular, the use of dictionaries (hash tables) ensures an instantaneous search for collisions between two calculated sets of values - the "baby steps" and "giant steps." The developed implementation serves not only as a visual tool for the in-depth study of the mathematical foundations of cryptanalysis but also demonstrates the practical vulnerability of certain cryptosystem parameters, which is an important stage in the training of information security specialists.

Задача дискретного логарифмування є однією з фундаментальних математичних проблем, на яких ґрунтується стійкість сучасних систем асиметричної криптографії, зокрема протоколу обміну ключами Діффі-Геллмана, криптосистеми Ель-Гамаля та криптографії на еліптичних кривих. Її математична суть полягає у знаходженні невідомого показника степеня у рівнянні ???? ???? ≡ ℎ (mod p) , де ???? (основа), h (результат) та p (модуль) є відомими цілими числами. Для вирішення цієї задачі класичний метод повного перебору (bruteforce) є вкрай неефективним і практично неможливим для великих значень модуля p. Алгоритм «baby-step giant-step» (відомий також як алгоритм Шенкса), запропонований Даніелем Шенксом у 1971 році, дозволяє суттєво оптимізувати цей процес. Цей метод базується на парадигмі «зустрічного кроку» (meet-in-the-middle) і дозволяє зменшити часову обчислювальну складність пошуку з ????(????) до ????(√????) вимагаючи при цьому обсягу пам\"яті ????(√????) для збереження проміжних результатів. У даній роботі розглядається програмна реалізація алгоритму Шенкса з використанням мови програмування Python. Вибір даної мови зумовлений її високорівневою архітектурою, підтримкою довгих цілих чисел (що критично для криптографії) та наявністю ефективних вбудованих структур даних. Зокрема, використання словників (хеш-таблиць) дозволяє забезпечити миттєвий пошук колізій між двома обчисленими множинами значень — «малими» (baby - steps) та «великими» (giant-steps) кроками. Розроблена реалізація є не лише наочним інструментом для глибокого вивчення математичних основ криптоаналізу, а й демонструє практичну вразливість певних параметрів криптосистем, що є важливим етапом у підготовці фахівців з інформаційної безпеки.