Теорія лишків та контурне інтегрування в прикладних задачах математичного аналізу

Abstract

У роботі розглянуто метод контурного інтегрування в комплексній площині як потужний інструмент обчислення складних інтегралів, що виникають у фізиці, теорії ймовірностей та інженерії. Показано ключову роль теореми Коші про лишки, яка дозволяє звести обчислення інтеграла вздовж замкнутого контуру до аналізу особливих точок підінтегральної функції. Метод дає змогу ефективно знаходити точні значення невласних інтегралів від дійсних функцій, які важко обчислити стандартними способами, а також застосовується в геометричній теорії функцій. Детально досліджено типові прийоми вибору контуру та застосування теореми для розв’язання практичних задач.

The work considers the method of contour integration in the complex plane as a powerful tool for calculating complex integrals arising in physics, probability theory, and engineering. The key role of Cauchy's residue theorem is shown, which reduces the calculation of an integral along a closed contour to the analysis of singular points (poles) of the integrand.