The exactly resolved model of a quantum particle with singular and periodic position dependent mass

Abstract

One special case of the quantum particle with the effective mass which depends on the coordinate has been considered. The coordinate dependence of the particle mass is expressed in terms of trigonometric functions, namely, inverse square of the cosine. The model we have chosen has the following main features: (1) position dependent mass is periodic function of the coordinate; (2) the coordinate dependence has singular points of inverse squares type which can be classified as the centres of falling; (3) the eigenfunctions in their explicit exact form can be established. Having determined the eigenfunctions by applying procedure of regulazation proposed in the given article and Flock`s theorem the equation for eigenvalues has been found. Its approximate solution allows to find and analyse the law of dispersion that, as it turned out, is continuous in function of wave number and forms a continuous spectrum.

Тут розглянуто один спеціальний випадок квантової частинки з ефективною масою, яка залежить від координат. Координатна залежність маси частинки виражена у термінах тригонометричних функцій обернено пропорційність квадрату косинуса. Розглянута тут модель відзначається такими основними особливостями: 1) координатна залежність маси виражена періодичною функцією; 2) цій функції властива наявність сингулярних точок, які можна кваліфікувати як центри падіння; (3) модель допускає можливість встановити власні функції у їх точній і явній формі. Застосуванням процедури регуляризації, запропонованої в даній роботі, і теореми Флоке одержано рівняння на власні значення, наближене розвʹязання якого показує, що закон дисперсії, як функція хвильового числа, формує неперервний спектр.