Застосування матриці Якобі в програмній реалізації оберненої задачі кінематики маніпулятора

Abstract

The paper considers the application of the Jacobian matrix in the differential kinematics of a robotic manipulator within the framework of developing a computer program for solving forward and inverse kinematics problems. The mathematical essence of the Jacobian as a tool for establishing the relationship between generalized coordinates and the velocity of the Tool Center Point is analyzed. A geometric approach to constructing the Jacobian based on Denavit– Hartenberg parameters is described. The use of the transposed Jacobian matrix in iterative algorithms for solving the inverse kinematics problem is considered. Special attention is paid to the analysis of singular configurations and numerical stability assessment using the determinant of the matrix 𝐽𝐽𝐽𝐽𝑇𝑇. It is shown that controlling this criterion improves the reliability and robustness of the manipulator positioning algorithm. Based on the results presented in the work, a certificate of state registration of copyright for computer programs was obtained: “Computer program for solving the inverse problem of kinematics of a robot manipulator” No. 142939 dated 02/19/2026 [1].

У роботі розглянуто застосування матриці Якобі в задачах диференціальної кінематики роботаманіпулятора в межах розробки комп’ютерної програми розрахунку прямої та оберненої задач кінематики. Проаналізовано математичну сутність матриці Якобі як інструменту встановлення зв’язку між узагальненими координатами та швидкістю робочого органу. Описано геометричний підхід до формування Якобіана на основі параметрів Денавіта–Хартенберга. Розглянуто використання транспонованої матриці Якобі в ітераційних алгоритмах розв’язання оберненої задачі кінематики. Особливу увагу приділено аналізу сингулярних конфігурацій та оцінці стабільності обчислень за допомогою визначника матриці 𝐽𝐽𝐽𝐽𝑇𝑇. Показано, що контроль цього критерію підвищує надійність та стійкість роботи алгоритму позиціонування маніпулятора.За результатами, представленими у роботі, отримано свідоцтво про державну реєстрацію авторського права на комп’ютерні програми: «Комп’ютерна програма для розв’язання оберненої задачі кінематики робота-маніпулятора» №142939 від 19.02.2026 [1].