Особливості застосування чисельних методів в обчислені визначених інтегралів

Abstract

The article discusses the features of the application of numerical methods in the calculation of a definite integral using the classical mathematical apparatus of quadrature formulas for rectangles, trapezoids and Simpson's (parabolas). The use of numerical integration is critically important, since it allows solving mathematical problems that are impossible or too difficult to calculate analytically using the classical Newton-Leibniz formula. Based on the results obtained, it is proven that Simpson's formula provides the highest accuracy of calculations compared to the formulas for rectangles and trapezoids for the same number of interval divisions. Simpson's formula can be applied to evenly spaced nodes in the case of an even number of subintervals and an odd number of nodes. Simpson's formula has the fourth order of accuracy. The calculation error of the formulas of the left and right rectangles has the first order of accuracy. It is larger than for the formula of the middle rectangles due to symmetry violation. The formula of the middle rectangles and trapezoids has the second order of accuracy. The accuracy of the quadrature formula is characterized by the order of the residual term relative to the degree of the integration step. The quadrature formula is considered to be more accurate, the higher the order of its residual term. In addition, the residual term of the quadrature formulas depends on the integration step. A theoretical and practical implementation has been applied, which is optimal for solving applied problems where analytical finding of the initial is impossible or too complicated. In order to qualitatively perceive information and assimilate it, the Maple V R4 computer mathematics system was used for calculations. The use of the Maple V R4 computer mathematics system allowed not only to automate cumbersome calculations, but also to obtain a visual visualization of the integration process. The use of such systems as Maple, Wolfram Mathematica and MATLAB allows not only to automate the computational process, but also to visualize the dynamics of approximation, which is critically important for analyzing the convergence of algorithms.

У статті розглянуто особливості застосування чисельних методів в обчисленні визначеного інтеграла з використанням класичного математичного апарату квадратурних формул прямокутників, трапеції та Сімпсона (парабол). Застосування чисельного інтегрування є критично важливим, оскільки воно дозволяє розв\"язувати математичні задачі, які неможливо або надто складно обчислити аналітично за допомогою класичної формули Ньютона-Лейбніца. На основі отриманих результатів доведено, що формула Сімпсона забезпечує найвищу точність обчислень порівняно з формулами прямокутників і трапецій за однакової кількості розбиття інтервалу. Формула Сімпсона може бути застосована для рівномірно розташованих вузлів у разі парної кількості підінтервалів і непарної кількості вузлів. Формула Сімпсона має четвертий порядок точності. Похибка обчислень формул лівих та правих прямокутників має перший порядок точності. Вона більша, ніж для формули середніх прямокутників через порушення симетрії. Формула середніх прямокутників та трапеції має другий порядок точності. Точність квадратурної формули характеризується порядком залишкового члена відносно степеня кроку інтегрування. Квадратурну формулу вважають тим точнішою, чим більший порядок її залишкового члена. Крім того, залишковий член квадратурних формул залежить від кроку інтегрування. Застосовано теоретичну та практичну реалізацію, яка є оптимальною для розв\"язання прикладних задач, де аналітичне знаходження первісної є неможливим або занадто складним. З метою якісного сприйняття інформації та її засвоєння для обчислень залучено систему комп'ютерної математики Maple V R4. Використання системи комп"ютерної математики Maple V R4 дозволило не лише автоматизувати громіздкі обчислення, а й отримати наочну візуалізацію процесу інтегрування. Використання таких систем, як Maple, Wolfram Mathematica та MATLAB, дозволяє не лише автоматизувати обчислювальний процес, а й візуалізувати динаміку наближення, що критично важливо для аналізу збіжності алгоритмів.