Mathematical models of individualised learning based on decision theory

Abstract

The study provided theoretical substantiation and development of a system of mathematical models for the individualisation of the educational process based on the integration of decision theory methods. The developed system of mathematical models is based on a metamodel that combines four mathematical paradigms through an interaction matrix, the elements of which are determined by the function of cognitive compatibility, temporal consistency and interaction efficiency. The introduction of the method of optimising partial trajectories, based on recursive updating of model parameters through the analysis of intermediate results, increased the accuracy of parameter settings and ensured smooth adaptation to the individual learning rate. The developed modification of the Bellman equation with the function of the complexity of the learning material made it possible to formalise the process of optimising long-term learning strategies by addressing individual cognitive characteristics. The analysis of the stochastic nature of the learning process through an extended transition matrix was used to mathematically describe the processes of forgetting and repeating the material using a system of differential equations with time-dependent coefficients that account for the intensity of learning and individual memory characteristics. The study of collaborative learning mechanisms using the gametheoretic approach revealed the synergistic effects of group learning through nonlinear functions of interaction between participants in the educational process and has allowed the development of methods for forming optimal learning groups based on individual goals. The proposed system of multidimensional evaluation, implemented through a composite objective function, covers a wide range of indicators basic knowledge acquisition to the development of higher-order metacognitive skills, including cognitive, metacognitive and motivational components, which provides a reliable tool for assessing the stability of learning trajectories and determining the level of adaptability of the system to individual characteristics of students.

У дослідженні здійснено теоретичне обґрунтування та розроблення системи математичних моделей для індивідуалізації освітнього процесу на основі комплексної інтеграції методів теорії прийняття рішень. Розроблена система математичних моделей базується на метамоделі, що поєднує чотири математичні парадигми через матрицю взаємодії, елементи якої визначаються функцією когнітивної сумісності, часової узгодженості та ефективності взаємодії. Впровадження методу оптимізації часткових траєкторій, що спирається на рекурсивне оновлення параметрів моделі через аналіз проміжних результатів, дало змогу досягти точнішого налаштування параметрів та забезпечити плавну адаптацію до індивідуального темпу засвоєння матеріалу. Розроблена модифікація рівняння Беллмана з функцією складності навчального матеріалу допомогла формалізувати процес оптимізації довгострокових навчальних стратегій через врахування індивідуальних когнітивних особливостей. Аналіз стохастичної природи навчального процесу через розширену матрицю переходів дозволив математично описати процеси забування й повторення матеріалу за допомогою системи диференційних рівнянь з часозалежними коефіцієнтами, що враховують інтенсивність навчання та індивідуальні особливості пам’яті. Дослідження механізмів колаборативного навчання за допомогою теоретико-ігрового підходу виявило синергетичні ефекти групового навчання через нелінійні функції взаємодії учасників освітнього процесу та дозволило розробити методи формування оптимальних навчальних груп з урахуванням індивідуальних цілей. Запропонована система багатовимірного оцінювання, що реалізується через композитну цільову функцію, охоплює широкий спектр показників від базового засвоєння знань до розвитку метакогнітивних навичок вищого порядку, включаючи когнітивні, метакогнітивні та мотиваційні компоненти, що забезпечує надійний інструментарій для оцінки стійкості навчальних траєкторій та визначення рівня адаптивності системи до індивідуальних особливостей учнів