Аналітичне дослідження властивостей розкладів Тейлора і Лорана та їх значення для вивчення структури аналітичних функцій

Abstract

У статті здійснено аналітичне дослідження рядів Тейлора і Лорана як ключових інструментів опису аналітичних функцій комплексної змінної. Розглянуто умови існування степеневих розкладів, охарактеризовано їх збіжність та показано зв’язок між аналітичністю функції та можливістю її локального подання у вигляді степеневих рядів. Особливу увагу приділено ряду Лорана як засобу аналізу функцій поблизу ізольованих особливих точок та основі класифікації сингулярностей. Результати мають вагоме значення для подальшого розвитку теорії комплексного інтегрування та прикладних математичних методів.

The article presents an analytical study of Taylor and Laurent series as key tools for describing analytic functions of a complex variable. The conditions for the existence of power series expansions are examined, their convergence is characterized, and the relationship between the analyticity of a function and the possibility of its local representation in the form of power series is demonstrated. Special attention is given to the Laurent series as a means of analyzing functions near isolated singular points and as a basis for classifying singularities. The results are of significant importance for the further development of complex integration theory and applied mathematical methods.